Bagaimana mencari nilai pasti dari tan 15° menggunakan nilai sin 30°?

 Bagaimana mencari nilai pasti dari cos 15° menggunakan nilai sin 30°?

Jawab:

Untuk semua nilai sudut A kita mengetahui bahwa,

⇒ $\left (sin \frac{A}{2} + cos \frac{A}{2} \right )^2 = sin^2 \frac{A}{2}+ cos^2 \frac{A}{2} + 2 sin \frac{A}{2} cos \frac{A}{2} = 1 + sin A$

Oleh karena itu, $sin \frac{A}{2} + cos \frac{A}{2} = \pm \sqrt{1 + sin A}$ , [mengambil akar kuadrat di kedua sisi]

Sekarang, misalkan A = 30 ° maka, A/2 = 30°/2 = 15° dan dari persamaan di atas kita dapatkan,

⇒ $sin 15^0 + cos 15^0 = \pm \sqrt{1 + sin 30^0}$ ….. (i)

Demikian pula, untuk semua nilai sudut A kita tahu bahwa,

⇒ $\left (sin \frac{A}{2} - cos \frac{A}{2} \right )^2 = sin^2 \frac{A}{2}+ cos^2 \frac{A}{2} - 2 sin \frac{A}{2} cos \frac{A}{2} = 1 - sin A$

Oleh karena itu, $sin \frac{A}{2} - cos \frac{A}{2} = \pm \sqrt{1 - sin A}$, [mengambil akar kuadrat di kedua sisi]

Sekarang, misalkan A = 30 ° maka, A/2 = 30°/2 = 15 ° dan dari persamaan di atas kita dapatkan,

⇒ $sin 15^0 - cos 15^0 = \pm \sqrt{1 - sin 30^0}$ ….. (ii)

Jelasnya, sin 15° > 0 dan cos 15˚ > 0

Jadi, sin 15° + cos 15° > 0

Oleh karena itu, dari (i) kita peroleh,

⇒ $sin 15^0 + cos 15^0 =  \sqrt{1 + sin 30^0}$... ..... (iii)

Sekali lagi, 

$sin 15^0 - cos 15^0 = \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}}sin 15^0 - \frac{1}{\sqrt{2}} cos 15^0)$

atau,$sin 15^0 - cos 15^0 = \sqrt{2} (sin 45^0.sin 15^0 - cos 45^0.cos 15^0)$ 

atau, $sin 15^0 - cos 15^0 = \sqrt{2} (sin 15^0 - 45^0)$

atau, $sin 15^0 - cos 15^0 = \sqrt{2} sin(- 30^0)$

atau, $sin 15^0 - cos 15^0 = -\sqrt{2} .\frac{1}{2}$

atau, $sin 15^0 - cos 15^0 = -\frac{1}{2}\sqrt{2}$

Jadi, sin 15° - cos 15° < 0

Oleh karena itu, dari (ii) kita peroleh, 

$sin 15^0 - cos 15^0 = -\sqrt{1 - sin 30^0}$ ..... (iv)

Sekarang, menambahkan (iii) dan (iv) kita mendapatkan,

⇒ $2sin 15^0 =\sqrt{1+\frac{1}{2}}-\sqrt{1-\frac{1}{2}}$

⇒ $2sin 15^0 =\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$

⇒ $sin 15^0 =\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$

Jadi, $sin 15^0 =\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{4}(\sqrt{6}-\sqrt{2})$

Sekarang, menambahkan (iv) dan (iii)  kita mendapatkan,

⇒ $2cos 15^0 =\sqrt{1+\frac{1}{2}}+\sqrt{1-\frac{1}{2}}$

⇒ $2cos15^0 =\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$

⇒ $cos 15^0 =\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$

Jadi, $cos 15^0 =\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{4}(\sqrt{6}+\sqrt{2})$

karena $tan15^0=\frac{sin15^0}{cos15^0}$ maka

⇒ $tan15^0=\frac{\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$

Jadi, 

$tan15^0=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$