Bagaimana mencari nilai pasti dari cos 15° menggunakan nilai sin 30°?
Bagaimana mencari nilai pasti dari cos 15° menggunakan nilai sin 30°?
Jawab:
Untuk semua nilai sudut A kita mengetahui bahwa,
$\left (sin \frac{A}{2} + cos \frac{A}{2} \right )^2 = sin^2 \frac{A}{2}+ cos^2 \frac{A}{2} + 2 sin \frac{A}{2} cos \frac{A}{2} = 1 + sin A$
Oleh karena itu, $sin \frac{A}{2} + cos \frac{A}{2} = \pm \sqrt{1 + sin A}$ , [mengambil akar kuadrat di kedua sisi]
Sekarang, misalkan A = 30 ° maka, A/2 = 30°/2 = 15° dan dari persamaan di atas kita dapatkan,
$sin 15^0 + cos 15^0 = \pm \sqrt{1 + sin 30^0}$ ….. (i)
Demikian pula, untuk semua nilai sudut A kita tahu bahwa,
$\left (sin \frac{A}{2} - cos \frac{A}{2} \right )^2 = sin^2 \frac{A}{2}+ cos^2 \frac{A}{2} - 2 sin \frac{A}{2} cos \frac{A}{2} = 1 - sin A$
Oleh karena itu, $sin \frac{A}{2} - cos \frac{A}{2} = \pm \sqrt{1 - sin A}$, [mengambil akar kuadrat di kedua sisi]
Sekarang, misalkan A = 30 ° maka, A/2 = 30°/2 = 15 ° dan dari persamaan di atas kita dapatkan,
$sin 15^0 - cos 15^0 = \pm \sqrt{1 - sin 30^0}$ ….. (ii)
Jelasnya, sin 15° > 0 dan cos 15˚ > 0
Jadi, sin 15° + cos 15° > 0
Oleh karena itu, dari (i) kita peroleh,
$sin 15^0 + cos 15^0 = \sqrt{1 + sin 30^0}$... ..... (iii)
Sekali lagi,
$sin 15^0 - cos 15^0 = \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}}sin 15^0 - \frac{1}{\sqrt{2}} cos 15^0)$
atau,$sin 15^0 - cos 15^0 = \sqrt{2} (sin 45^0.sin 15^0 - cos 45^0.cos 15^0)$
atau, $sin 15^0 - cos 15^0 = \sqrt{2} (sin 15^0 - 45^0)$
atau, $sin 15^0 - cos 15^0 = \sqrt{2} sin(- 30^0)$
atau,
atau, $sin 15^0 - cos 15^0 = -\frac{1}{2}\sqrt{2}$
Jadi, sin 15° - cos 15° < 0
Oleh karena itu, dari (ii) kita peroleh,
$sin 15^0 - cos 15^0 = -\sqrt{1 - sin 30^0}$ ..... (iv)
Sekarang, menambahkan (iii) dan (iv) kita mendapatkan,
$2cos 15^0 =\sqrt{1+\frac{1}{2}}+\sqrt{1-\frac{1}{2}}$
$2cos15^0 =\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$
$cos 15^0 =\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$
Jadi, $cos 15^0 =\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{4}(\sqrt{6}+\sqrt{2})$
Post a Comment for " Bagaimana mencari nilai pasti dari cos 15° menggunakan nilai sin 30°?"
Sobat Ayo Sekolah Matematika! Berikan Komentar di kolom komentar dengan bahasa yang sopan dan sesuai isi konten...Terimasih untuk kunjunganmu di blog ini, semoga bermanfaat!