Perbandingan Trigonometri Sudut A/2 ke dalam Sudut cos A

Kita akan belajar tentang perbandingan trigonometri sudut setengah $\frac{A}{2}$ dalam dinyatakan dalam sudut cos A.

Bagaimana cara menyatakan sin $\frac{A}{2}$, cos $\frac{A}{2}$ dan tan $\frac{A}{2}$ dalam sudut cos A?

(i) Untuk semua nilai sudut A kita tahu bahwa, cos A = 2 cos² $\frac{A}{2}$ – 1

⇒ 2 cos² $\frac{A}{2}$ = 1 + cos A.

⇒ cos² $\frac{A}{2}$ = $\frac{1}{2}$(1 + cos A)

⇒ cos $\frac{A}{2}$ = $\pm \sqrt{\frac{1+cosA}{2}}$

 (ii) Untuk semua nilai sudut A kita tahu bahwa cos A = 1 - 2 sin² $\frac{A}{2}$

⇒ 2 sin² $\frac{A}{2}$ = 1 - cos A

⇒ sin² $\frac{A}{2}$ = $\frac{1}{2}$(1 - cos A)

⇒ sin $\frac{A}{2}$ = $\pm \sqrt{\frac{1-cosA}{2}}$

(iii) Untuk semua nilai sudut A kita tahu bahwa, tan $\frac{A}{2}$ = $\frac{sin\frac{A}{2}}{cos\frac{A}{2}}$

⇒ tan $\frac{A}{2}$ = $\frac{\pm \sqrt{\frac{1-cosA}{2}}}{\pm \sqrt{\frac{1+cosA}{2}}}$

⇒ tan $\frac{A}{2}$ = $\sqrt{\frac{1-cosA}{1+cosA}}$

catatan:

Hubungan ini sangat berguna untuk mencari perbandingan trigonometri 22 ½°, 7½°, 11¼ °, dst.

Bagaimana cara menentukan tanda-tanda sin $\frac{A}{2}$, cos $\frac{A}{2}$ dan tan $\frac{A}{2}$?

Jika A diberikan, maka kita dapat dengan mudah menemukan kuadran di mana $\frac{A}{2}$ berada.

Oleh karena itu, menggunakan aturan "semua, sin, tan, cos" kita dapat temukan tanda-tanda pasti dari sin $\frac{A}{2}$, cos $\frac{A}{2}$ dan tan $\frac{A}{2}$. Dengan kata lain, jika nilai cos A diberikan maka A dapat memiliki jumlah nilai yang tak terhingga.

Oleh karena itu, tidak mungkin menemukan kuadran yang tepat di mana $\frac{A}{2}$ akan berada.

Oleh karena itu, sin $\frac{A}{2}$, cos $\frac{A}{2}$ atau tan $\frac{A}{2}$ bisa positif sekaligus negatif.