Persamaan Bilangan Kompleks

Kita akan membahas tentang persamaan bilangan kompleks.

Dua bilangan kompleks z₁ = a + ib dan z₂ = x + iy sama jika dan hanya jika a = x dan b = y yaitu, Re (z₁) = Re (z₂) dan Im (z₁) = Im (z₂).

Jadi, z₁ = z₂ ⇔ Re (z₁) = Re (z₂) dan Im (z₁) = Im (z₂).

Misalnya, jika bilangan kompleks z₁ = x + iy dan z₂ = -5 + 7i sama, maka x = -5 dan y = 7.

Contoh 1:

Jika z₁ = 5 + 2yi dan z₂ = -x + 6i sama, tentukan nilai x dan y.

Jawab:

Dua bilangan kompleks yang diberikan adalah z₁ = 5 + 2yi dan z₂ = -x + 6i.

Kita tahu bahwa, dua bilangan kompleks z₁ = a + ib dan z₂ = x + iy sama jika a = x dan b = y.

z₁ = z₂

⇒ 5 + 2yi = -x + 6i
⇒ 5 = -x dan 2y = 6
⇒ x = -5 dan y = 3

Oleh karena itu, nilai x = -5 dan nilai y = 3.

Contoh 2
Jika a, b adalah bilangan real dan 7a + i(3a - b) = 14 - 6i, maka cari nilai a dan b.

Jawab:

Diberikan, 7a + i(3a - b) = 14 - 6i

⇒ 7a + i(3a - b) = 14 + i(-6)

Sekarang menyamakan bagian nyata dan imajiner di kedua sisi, kita peroleh

7a = 14 dan 3a - b = -6
⇒ a = 2 dan 3 ∙ 2 - b = -6
⇒ a = 2 dan 6 - b = -6
⇒ a = 2 dan - b = -12
⇒ a = 2 dan b = 12

Oleh karena itu, nilai a = 2 dan nilai b = 12.

Contoh 3

Untuk apa nilai real m dan n adalah bilangan kompleks m² - 7m + 9ni dan n²i + 20i -12 adalah sama.

Jawab:
Bilangan kompleks yang diberikan adalah m² - 7m + 9ni dan n²i + 20i -12

Sesuai dengan soal

m² - 7m + 9ni = n²i + 20i -12

⇒ (m² - 7m) + i (9n) = (-12) + i (n² + 20)

Sekarang menyamakan bagian nyata dan imajiner di kedua sisi, kita peroleh

m² - 7m = - 12 dan 9n = n² + 20

⇒ m² - 7m + 12 = 0 dan n² - 9n + 20 = 0

⇒ (m - 4)(m - 3) = 0 dan (n - 5)(n - 4) = 0

⇒ m = 4, 3 dan n = 5, 4

Oleh karena itu, nilai yang diperlukan dari m dan n adalah sebagai berikut:

m = 4, n = 5; m = 4, n = 4; m = 3, n = 5; m = 3, n = 4.