Soal dan Pembahasan Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

Soal 1: UM UGM 2019 Kode 934

Diketahui $f(x) = x^2+1$ dan $g(x) = ax+2$, dengan $a\neq0$. Jika $(fog^{-1})(1)=5$, maka $4a^2-3=...$
(A) $-3$
(B) $-2$
(C) $-1$
(D) $1$
(E) $2$

PEMBAHASAN:
Invers fungsi $g(x)=ax+2$ adalah

$y=ax+2$ 
$y-2 = ax$
$x=\frac{y-2}{a}$ 

$g^{-1}(x)=\frac{x-2}{a}$
$g^{-1}(1)=\frac{1-2}{a}=-\frac{1}{a}$

$(fog^{-1})(1)=5$
$f(g^{-1}(1))=5$
$f(-\frac{1}{a})=5$
$(-\frac{1}{a})^2+1=5$
$\frac{1}{a^2}=5-1$
$4a^2=1$
$4a^2-3=1-3=-2$

Pilihan jawabannya adalah (B)

Soal 2: SIMAK UI 2020  

Diketahui $f(x) +3g^{-1}(x)=x^2+x-18$ dan $f(x)+2g^{-1}(x) = x^2-14$. Jika $f^{-1}$ bernilai positif, maka $f^{-1}(2)+g^{-1}(2)=...$
(A) $1$
(B) $2$
(C) $3$
(D) $4$
(E) $5$

PEMBAHASAN:
$f(x) +3g^{-1}(x)=x^2+x-18$ (1)
$f(x)+2g^{-1}(x) = x^2-14$    (2)

(1) dan (2) dijumlahkan hasilnya
$g^{-1}(x)=x-4$
$g^{-1}(2)=2-4=-2$

$f(x)+2g^{-1}(x) = x^2-14$
$f(x)+2(x-4) = x^2-14$

$f(x)+2x-8 = x^2-14$
$f(x)= x^2-2x-6$

$f^{-1}(2) = a$ maka $f(a) = 2$, sehingga

$f(a)= (a)^2-2(a)-6$
$2= a^2-2a-6$
$a^2-2a-8=0$
$(a-4)(a+2)= 0$

$a=-2$ atau $a=4$

$f^{-1}(a)=a$ atau $f^{-1}(2)=4$, maka

Nilai $f^{-1}(2)+g^{-2}(2)=4-2=2$

Pilihan jawabannya adalah (B)

Soal 3: UTBK-SBMPTN 2019

Jika $f(x) =ax+3$ dan $(fof)(x)=4x-3$, maka nilai $f(a)=...$
(A) $1$
(B) $3$
(C) $5$
(D) $7$
(E) $9$

PEMBAHASAN:
$(fof)(x)=4x-3$
$f(f(x))=4x-3$
$f(ax+3)=4x-3$

$m=ax+3$
$x=\frac{m-3}{a}$
$f(m) =4\left ( \frac{m-3}{a} \right )-3$
$f(m) =\frac{4m-12}{a} -3$
$f(x) =\frac{4x-12}{a} -3$
$ax+3 =\frac{4x-12}{a} -3$
$ax+3 =\frac{4x-12}{a} -3$
$ax+3 =\frac{4}{a}x -\frac{12}{a}-3$

dari kesamaan persamaan di atas, jika kita perhatikan koefisien variabel dan konstantanya, dapat kita ambil kesimpulan:

$m \equiv \frac{4}{3}→ a=\pm 2$
$-\frac{12}{a}-3 \equiv 3 → a=- 2$

$f(x)=ax+3$
$f(x)=-2x+3$
$f(a)=-2a+3$
$f(-2)=-2(-2)+3=7$

Pilihan jawabannya adalah (D)

Soal 4: UTBK-SBMPTN 2019

Jika $f(x) =3x+a$ dan $(fof)(x)=9x+a+3$, maka nilai $f(a)=...$
(A) $6$
(B) $5$
(C) $4$
(D) $3$
(E) $2$

PEMBAHASAN:
$(fof)(x)=9x+a+3$
$f(f(x))=9x+a+3$
$f(3x+a)=9x+a+3$
$f(3x+a)=3(3x+a)-2a+3$
$f(m)=3m-2a+3$
$f(x)=3x-2a+3$
$3x+a=3x-2a+3$
$a+2a=3$
$a=1$

$f(x)=3x+a$
$f(x)=3x+1$
$f(a)=3(a)+1$
$f(1)=3(1)+1$
$f(1)=4$

Pilihan jawabannya adalah (C)

Soal 5: UTBK-SBMPTN 2019

Diketahui $f(2x) =-\frac{1}{x+2}$ dan $f^{-1}(\frac{2}{a})=3a$, maka nilai $a=...$
(A) $2$
(B) $1$
(C) $0$
(D) $-1$
(E) $-2$

PEMBAHASAN:
Misalkan $m=2x$, maka $x=\frac{m}{2}$

$f(m) =\frac{1}{\frac{m}{2}+2}$

$f(m) =\frac{2}{m+4}$, maka

$f(x) =\frac{2}{x+4}$
$f^{-1}(x) =\frac{-2-4x}{x}$
$f^{-1}(\frac{a}{2}) =\frac{-2-4.\frac{a}{2}}{\frac{a}{2}}$
$3a =-\frac{-2-\frac{8}{a}}{\frac{2}{a}}$
$6 =-2-\frac{8}{a}$
$\frac{8}{a}=-8$
$a =-1$

Pilihan jawabannya adalah (D)

Soal 6: UTBK-SBMPTN 2019

Jika $f(x-1) =5x^2+6x-6$; $g(x) =ax+1$  dan $(g \ o \ f)(1)=-51$, maka nilai $f(a+1)=...$
(A) $-2$
(B) $-6$
(C) $-7$
(D) $-11$
(E) $-13$

PEMBAHASAN:
$f(x-1) =5x^2+6x-6$
$x=2→f(2-1) =5(2)^2+6(2)-6$
$f(1)=26$

$(g \ o \ f)(1) =-51$
$g(f(1)) =-51$
$g(26) =-51$
$a(26)+1 =-51$
$a=\frac{-52}{26}=-2$

Nilai dari $f(a+1)$ adalah 
$f(-2+1) =f(-1)$
$x=0→f(-1) =5(0)^2+6(0)-6=0-6=-6$

Pilihan jawabannya adalah (B)

Soal 7: SIMAK UI 2019 Kode 539

Jika $f(x) =2x^2-3x+1$; $g(x) =ax+b$  dan $(gof)(x-1)=4x^2-14x+11$, maka . . .
(1) $a=2$
(2) $b=-1$
(3) $(fog)(1)=0$
(4) $\frac{f(x)}{g(x)}=x+1$

PEMBAHASAN:
$(gof)(x-1)=4x^2-14x+11$
$(gof)(x-1)=4(x-1)^2-6(x-1)+1$
$(gof)(a)=4a^2-6a+1$, maka
$(gof)(x)=4x^2-6x+1$
$g(f(x))=4x^2-6x+1$
$a.f(x)+b=4x^2-6x+1$
$a(2x^2-3x+1)+b=4x^2-6x+1$
$2ax^2-3ax+a+b=4x^2-6x+1$

maka

$a=2$, $a+b=1$, $2+b=1→b=-1$, sehingga

$g(x)=2x-1$

$(f \ o \ g)(1)=f(g(1))$
$(f \ o \ g)(1)=f(1)$
$(f \ o \ g)(1)=2(1)^2-3(1)+1=0$

$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{2x^2-3x+1}{2x-1}$
$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{(2x-1)(x-1)}{2x-1}=(x-1)$

Pilihan jawabannya adalah (A) yaitu $(1)$, $(2)$ dan $(3)$ BENAR!

Soal 8: SIMAK UI 2019 Kode 539

Jika $f(x+1) =x^2+2x+1$; dengan $x>0$ maka $f^{-1}(x-1+f(x-1))=...$ 
(A) $x-1$
(B) $\sqrt{x}+1$
(C) $\sqrt{x}-1$
(D) $\sqrt{x(x+1)}$
(E) $\sqrt{x(x-1)}$

PEMBAHASAN:
$f(x+1) =x^2+2x+1$
$f(x+1) =(x+1)^2$
$f(a) =a^2$
$f(x) =x^2$
$f(x-1) =(x-1)^2$

$f(x) =(x)^2$
$f^{-1}(x)=\pm \sqrt{x}$, maka

$f^{-1}(a)=\pm \sqrt{a}$
$\begin{aligned}f^{-1}(x-1+f(x-1))&=\pm \sqrt{x-1+f(x-1)}   \\ &=  \pm \sqrt{x-1+(x-1)^2}  \\ &=\pm \sqrt{x-1+x^2-2x+1} \\ &=\pm \sqrt{x^2-x} \\ &=\pm \sqrt{x(x-1)}\end{aligned}$

Pilihan jawabannya adalah (E)

Soal 9: UTBK-SBMPTN 2019  

Jika fungsi $\sqrt{\frac{x^2-8x+5}{x^2+x+12}}$ terdefinisi untuk $x\leqslant a$ atau $x \geqslant  b$ maka nilai $a+b=...$ 
(A) $8$
(B) $5$
(C) $0$
(D) $-5$
(E) $-8$

PEMBAHASAN:
Agar sebuah $f(x)$ terdefinisi maksudnya adalah batasan nilai $x$ agar fungsi $f(x)$ mempunyai nilai real atau sering juga disebut hanya "agar fungsi $f(x)$ mempunyai penyelesaian".

Fungsi pada soal terdiri atas dua fungsi yaitu, fungsi bentuk akar dan fungsi pecahan.

Untuk fungsi pecahan $f(x)=u(x).v(x)$, agar fungsi pecahan terdefenisi (mempunyai nilai real) syaratnya adalah penyebut tidak sama dengan nol $v(x) \neq 0$.

Pada soal di atas penyebut adalah $y=x^2+x+12$ karena $a>0$ dan $D<0$  sehingga fungsi selalu bernilai positif untuk setiap $x$ bilangan real atau definit positif.

Untuk fungsi bentuk akar $f(x)= \sqrt{u(x)}$, agar fungsi pecahan terdefenisi (mempunyai nilai real) syaratnya adalah yang di dalam akar harus lebih dari atau sama dengan nol $u(x) \geqslant 0$. Karena penyebut adalah definit positif, sehingga agar fungsi $x^2-8x+5x^2+x+12 \geqslant 0$ kita cukup mencari batasan nilai $x$ untuk $x^2-8x+5 \geqslant 0$.

$\begin{aligned} x_{1,2}&=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}  \\   &=  \frac{-(-8)\pm \sqrt{(-8)^2-4(1)(5)}}{2(1)}  \\  &=\frac{8\pm \sqrt{64-20}}{2} \\ &=\frac{8\pm \sqrt{44}}{2} \\ &=\frac{8\pm 2\sqrt{11}}{2} \\ &=4\pm \sqrt{11} \\ x_1&=4+ \sqrt{11} \\ x_2&=4- \sqrt{11} \end{aligned}$

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat $x^2-8x+5 \geqslant 0$ adalah himpunan penyesaian $\sqrt{\frac{x^2-8x+5}{x^2+x+12}}$, yaitu $x\leqslant 4-\sqrt{11}$ atau $x\geqslant   $x\geqslant   4-\sqrt{11}$
, sehingga nilai,

$a+b = 4-\sqrt{11}+4+\sqrt{11}=8$

Pilihan jawabannya adalah (A)

Soal 10: SBMPTN 2018 Kode 527

Jika $f(x)=\frac{1}{(x-1)^2}$ dan $g(x)=\frac{1}{x-2}$ maka himpunan penyelesaian dari $\frac{f(x)g(x)}{(fog)(x)}<0$ adalah . . . 
(A) {${x|x<1 \ atau \ x>2}$}
(B) {${x|x<1 \ atau \ 2<x<3}$}
(C) {${x|x<1 \ atau \ 1<x<2}$}
(D) {${x|1<x <2 \ atau \ x>3}$}
(E) {${x|2<x<3 \ atau \ x>3}$}

PEMBAHASAN:
Daerah asal fungsi $f(x)$ agar $f(x)$ terdefinisi maksudnya adalah batasan nilai $x$ agar fungsi $f(x)$ mempunyai nilai real atau sering juga disebut hanya "agar fungsi $f(x)$ mempunyai penyelesaian".

Fungsi pada soal terdiri atas dua fungsi yaitu, fungsi bentuk akar dan fungsi pecahan.

Untuk fungsi pecahan $f(x)=u(x).v(x)$, agar fungsi pecahan terdefenisi (mempunyai nilai real) syaratnya adalah penyebut tidak sama dengan nol $v(x) \neq 0$.

$x+2 \neq 0$

$x \neq -2$
Untuk fungsi bentuk akar $f(x)=\sqrt{u(x)}$, agar fungsi pecahan terdefenisi (mempunyai nilai real) syaratnya adalah yang di dalam akar harus lebih dari atau sama dengan nol $u(x) \geqslant 0$.

$\frac{x^2-3x+2}{x+2} \geqslant 0$

$\frac{(x-2)(x-1)}{x+2} \geqslant 0$

Untuk mencari himpunan penyelesaian pada pertidaksamaan pecahan dia atas, seperti gambar berikut:

Himpunan penyelesaian $\frac{x^2-3x+2}{x+2} \geqslant 0$ adalah $-2\leqslant x \leqslant1$ atau $x \geqslant 2$ dan $x \neq -2$.

Pilihan jawabannya adalah (A)