Soal dan Pembahasan Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Soal 1: UM UGM 2019 Kode 934
Diketahui $f(x) = x^2+1$ dan $g(x) = ax+2$, dengan $a\neq0$. Jika $(fog^{-1})(1)=5$, maka $4a^2-3=...$(A) $-3$
(B) $-2$
(C) $-1$
(D) $1$
(E) $2$
PEMBAHASAN:
Invers fungsi $g(x)=ax+2$ adalah
$y=ax+2$
$y-2 = ax$
$x=\frac{y-2}{a}$
$y-2 = ax$
$x=\frac{y-2}{a}$
$g^{-1}(x)=\frac{x-2}{a}$
$g^{-1}(1)=\frac{1-2}{a}=-\frac{1}{a}$
$(fog^{-1})(1)=5$
$f(g^{-1}(1))=5$
$f(-\frac{1}{a})=5$
$(-\frac{1}{a})^2+1=5$
$\frac{1}{a^2}=5-1$
$4a^2=1$
$4a^2-3=1-3=-2$
Pilihan jawabannya adalah (B)
(A) $1$
(B) $2$
(C) $3$
(D) $4$
(E) $5$
PEMBAHASAN:
$f(x) +3g^{-1}(x)=x^2+x-18$ (1)
$f(x)+2g^{-1}(x) = x^2-14$ (2)
(1) dan (2) dijumlahkan hasilnya
$g^{-1}(x)=x-4$
$g^{-1}(2)=2-4=-2$
$f(x)+2g^{-1}(x) = x^2-14$
$f(x)+2(x-4) = x^2-14$
$g^{-1}(1)=\frac{1-2}{a}=-\frac{1}{a}$
$(fog^{-1})(1)=5$
$f(g^{-1}(1))=5$
$f(-\frac{1}{a})=5$
$(-\frac{1}{a})^2+1=5$
$\frac{1}{a^2}=5-1$
$4a^2=1$
$4a^2-3=1-3=-2$
Pilihan jawabannya adalah (B)
Soal 2: SIMAK UI 2020
Diketahui $f(x) +3g^{-1}(x)=x^2+x-18$ dan $f(x)+2g^{-1}(x) = x^2-14$. Jika $f^{-1}$ bernilai positif, maka $f^{-1}(2)+g^{-1}(2)=...$(A) $1$
(B) $2$
(C) $3$
(D) $4$
(E) $5$
PEMBAHASAN:
$f(x) +3g^{-1}(x)=x^2+x-18$ (1)
$f(x)+2g^{-1}(x) = x^2-14$ (2)
(1) dan (2) dijumlahkan hasilnya
$g^{-1}(x)=x-4$
$g^{-1}(2)=2-4=-2$
$f(x)+2g^{-1}(x) = x^2-14$
$f(x)+2(x-4) = x^2-14$
$f(x)+2x-8 = x^2-14$
$f(x)= x^2-2x-6$
$f^{-1}(2) = a$ maka $f(a) = 2$, sehingga
$f(x)= x^2-2x-6$
$f^{-1}(2) = a$ maka $f(a) = 2$, sehingga
$f(a)= (a)^2-2(a)-6$
$2= a^2-2a-6$
$a^2-2a-8=0$
$(a-4)(a+2)= 0$
$a=-2$ atau $a=4$
$f^{-1}(a)=a$ atau $f^{-1}(2)=4$, maka
Nilai $f^{-1}(2)+g^{-2}(2)=4-2=2$
Pilihan jawabannya adalah (B)
(A) $1$
(B) $3$
(C) $5$
(D) $7$
(E) $9$
PEMBAHASAN:
$(fof)(x)=4x-3$
$f(f(x))=4x-3$
$f(ax+3)=4x-3$
$m=ax+3$
$x=\frac{m-3}{a}$
$f(m) =4\left ( \frac{m-3}{a} \right )-3$
$f(m) =\frac{4m-12}{a} -3$
$f(x) =\frac{4x-12}{a} -3$
$ax+3 =\frac{4x-12}{a} -3$
$ax+3 =\frac{4x-12}{a} -3$
$ax+3 =\frac{4}{a}x -\frac{12}{a}-3$
dari kesamaan persamaan di atas, jika kita perhatikan koefisien variabel dan konstantanya, dapat kita ambil kesimpulan:
$m \equiv \frac{4}{3}→ a=\pm 2$
$-\frac{12}{a}-3 \equiv 3 → a=- 2$
$f(x)=ax+3$
$f(x)=-2x+3$
$f(a)=-2a+3$
$f(-2)=-2(-2)+3=7$
Pilihan jawabannya adalah (D)
(A) $6$
(B) $5$
(C) $4$
(D) $3$
(E) $2$
PEMBAHASAN:
$(fof)(x)=9x+a+3$
$f(f(x))=9x+a+3$
$f(3x+a)=9x+a+3$
$f(3x+a)=3(3x+a)-2a+3$
$f(m)=3m-2a+3$
$f(x)=3x-2a+3$
$3x+a=3x-2a+3$
$a+2a=3$
$a=1$
$f(x)=3x+a$
$f(x)=3x+1$
$f(a)=3(a)+1$
$f(1)=3(1)+1$
$f(1)=4$
Pilihan jawabannya adalah (C)
(A) $2$
(B) $1$
(C) $0$
(D) $-1$
(E) $-2$
PEMBAHASAN:
Misalkan $m=2x$, maka $x=\frac{m}{2}$
$2= a^2-2a-6$
$a^2-2a-8=0$
$(a-4)(a+2)= 0$
$a=-2$ atau $a=4$
$f^{-1}(a)=a$ atau $f^{-1}(2)=4$, maka
Nilai $f^{-1}(2)+g^{-2}(2)=4-2=2$
Pilihan jawabannya adalah (B)
Soal 3: UTBK-SBMPTN 2019
Jika $f(x) =ax+3$ dan $(fof)(x)=4x-3$, maka nilai $f(a)=...$(A) $1$
(B) $3$
(C) $5$
(D) $7$
(E) $9$
PEMBAHASAN:
$(fof)(x)=4x-3$
$f(f(x))=4x-3$
$f(ax+3)=4x-3$
$m=ax+3$
$x=\frac{m-3}{a}$
$f(m) =4\left ( \frac{m-3}{a} \right )-3$
$f(m) =\frac{4m-12}{a} -3$
$f(x) =\frac{4x-12}{a} -3$
$ax+3 =\frac{4x-12}{a} -3$
$ax+3 =\frac{4x-12}{a} -3$
$ax+3 =\frac{4}{a}x -\frac{12}{a}-3$
dari kesamaan persamaan di atas, jika kita perhatikan koefisien variabel dan konstantanya, dapat kita ambil kesimpulan:
$m \equiv \frac{4}{3}→ a=\pm 2$
$-\frac{12}{a}-3 \equiv 3 → a=- 2$
$f(x)=ax+3$
$f(x)=-2x+3$
$f(a)=-2a+3$
$f(-2)=-2(-2)+3=7$
Pilihan jawabannya adalah (D)
Soal 4: UTBK-SBMPTN 2019
Jika $f(x) =3x+a$ dan $(fof)(x)=9x+a+3$, maka nilai $f(a)=...$(A) $6$
(B) $5$
(C) $4$
(D) $3$
(E) $2$
PEMBAHASAN:
$(fof)(x)=9x+a+3$
$f(f(x))=9x+a+3$
$f(3x+a)=9x+a+3$
$f(3x+a)=3(3x+a)-2a+3$
$f(m)=3m-2a+3$
$f(x)=3x-2a+3$
$3x+a=3x-2a+3$
$a+2a=3$
$a=1$
$f(x)=3x+a$
$f(x)=3x+1$
$f(a)=3(a)+1$
$f(1)=3(1)+1$
$f(1)=4$
Pilihan jawabannya adalah (C)
Soal 5: UTBK-SBMPTN 2019
Diketahui $f(2x) =-\frac{1}{x+2}$ dan $f^{-1}(\frac{2}{a})=3a$, maka nilai $a=...$(A) $2$
(B) $1$
(C) $0$
(D) $-1$
(E) $-2$
PEMBAHASAN:
Misalkan $m=2x$, maka $x=\frac{m}{2}$
$f(m) =\frac{1}{\frac{m}{2}+2}$
$f(m) =\frac{2}{m+4}$, maka
$f(x) =\frac{2}{x+4}$
$f^{-1}(x) =\frac{-2-4x}{x}$
$f^{-1}(\frac{a}{2}) =\frac{-2-4.\frac{a}{2}}{\frac{a}{2}}$
$3a =-\frac{-2-\frac{8}{a}}{\frac{2}{a}}$
$6 =-2-\frac{8}{a}$
$\frac{8}{a}=-8$
$a =-1$
Pilihan jawabannya adalah (D)
Soal 6: UTBK-SBMPTN 2019
$f^{-1}(x) =\frac{-2-4x}{x}$
$f^{-1}(\frac{a}{2}) =\frac{-2-4.\frac{a}{2}}{\frac{a}{2}}$
$3a =-\frac{-2-\frac{8}{a}}{\frac{2}{a}}$
$6 =-2-\frac{8}{a}$
$\frac{8}{a}=-8$
$a =-1$
Pilihan jawabannya adalah (D)
Soal 6: UTBK-SBMPTN 2019
Jika $f(x-1) =5x^2+6x-6$; $g(x) =ax+1$ dan $(g \ o \ f)(1)=-51$, maka nilai $f(a+1)=...$
(A) $-2$
(B) $-6$
(C) $-7$
(D) $-11$
(E) $-13$
PEMBAHASAN:
$f(x-1) =5x^2+6x-6$
$x=2→f(2-1) =5(2)^2+6(2)-6$
$f(1)=26$
$(g \ o \ f)(1) =-51$
$g(f(1)) =-51$
$g(26) =-51$
$a(26)+1 =-51$
$a=\frac{-52}{26}=-2$
Nilai dari $f(a+1)$ adalah
$f(-2+1) =f(-1)$
$x=0→f(-1) =5(0)^2+6(0)-6=0-6=-6$
Pilihan jawabannya adalah (B)
(1) $a=2$
(2) $b=-1$
(3) $(fog)(1)=0$
(4) $\frac{f(x)}{g(x)}=x+1$
PEMBAHASAN:
$(gof)(x-1)=4x^2-14x+11$
$(gof)(x-1)=4(x-1)^2-6(x-1)+1$
$(gof)(a)=4a^2-6a+1$, maka
$(gof)(x)=4x^2-6x+1$
$g(f(x))=4x^2-6x+1$
$a.f(x)+b=4x^2-6x+1$
$a(2x^2-3x+1)+b=4x^2-6x+1$
$2ax^2-3ax+a+b=4x^2-6x+1$
maka
$a=2$, $a+b=1$, $2+b=1→b=-1$, sehingga
$g(x)=2x-1$
$(f \ o \ g)(1)=f(g(1))$
$(f \ o \ g)(1)=f(1)$
$(f \ o \ g)(1)=2(1)^2-3(1)+1=0$
$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{2x^2-3x+1}{2x-1}$
$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{(2x-1)(x-1)}{2x-1}=(x-1)$
Pilihan jawabannya adalah (A) yaitu $(1)$, $(2)$ dan $(3)$ BENAR!
(A) $x-1$
(B) $\sqrt{x}+1$
(C) $\sqrt{x}-1$
(D) $\sqrt{x(x+1)}$
(E) $\sqrt{x(x-1)}$
PEMBAHASAN:
$f(x+1) =x^2+2x+1$
$f(x+1) =(x+1)^2$
$f(a) =a^2$
$f(x) =x^2$
$f(x-1) =(x-1)^2$
$f(x) =(x)^2$
$f^{-1}(x)=\pm \sqrt{x}$, maka
(A) $-2$
(B) $-6$
(C) $-7$
(D) $-11$
(E) $-13$
PEMBAHASAN:
$f(x-1) =5x^2+6x-6$
$x=2→f(2-1) =5(2)^2+6(2)-6$
$f(1)=26$
$(g \ o \ f)(1) =-51$
$g(f(1)) =-51$
$g(26) =-51$
$a(26)+1 =-51$
$a=\frac{-52}{26}=-2$
Nilai dari $f(a+1)$ adalah
$f(-2+1) =f(-1)$
$x=0→f(-1) =5(0)^2+6(0)-6=0-6=-6$
Pilihan jawabannya adalah (B)
Soal 7: SIMAK UI 2019 Kode 539
Jika $f(x) =2x^2-3x+1$; $g(x) =ax+b$ dan $(gof)(x-1)=4x^2-14x+11$, maka . . .(1) $a=2$
(2) $b=-1$
(3) $(fog)(1)=0$
(4) $\frac{f(x)}{g(x)}=x+1$
PEMBAHASAN:
$(gof)(x-1)=4x^2-14x+11$
$(gof)(x-1)=4(x-1)^2-6(x-1)+1$
$(gof)(a)=4a^2-6a+1$, maka
$(gof)(x)=4x^2-6x+1$
$g(f(x))=4x^2-6x+1$
$a.f(x)+b=4x^2-6x+1$
$a(2x^2-3x+1)+b=4x^2-6x+1$
$2ax^2-3ax+a+b=4x^2-6x+1$
maka
$a=2$, $a+b=1$, $2+b=1→b=-1$, sehingga
$g(x)=2x-1$
$(f \ o \ g)(1)=f(g(1))$
$(f \ o \ g)(1)=f(1)$
$(f \ o \ g)(1)=2(1)^2-3(1)+1=0$
$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{2x^2-3x+1}{2x-1}$
$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{(2x-1)(x-1)}{2x-1}=(x-1)$
Pilihan jawabannya adalah (A) yaitu $(1)$, $(2)$ dan $(3)$ BENAR!
Soal 8: SIMAK UI 2019 Kode 539
Jika $f(x+1) =x^2+2x+1$; dengan $x>0$ maka $f^{-1}(x-1+f(x-1))=...$(A) $x-1$
(B) $\sqrt{x}+1$
(C) $\sqrt{x}-1$
(D) $\sqrt{x(x+1)}$
(E) $\sqrt{x(x-1)}$
PEMBAHASAN:
$f(x+1) =x^2+2x+1$
$f(x+1) =(x+1)^2$
$f(a) =a^2$
$f(x) =x^2$
$f(x-1) =(x-1)^2$
$f(x) =(x)^2$
$f^{-1}(x)=\pm \sqrt{x}$, maka
$f^{-1}(a)=\pm \sqrt{a}$
$\begin{aligned}f^{-1}(x-1+f(x-1))&=\pm \sqrt{x-1+f(x-1)} \\ &= \pm \sqrt{x-1+(x-1)^2} \\ &=\pm \sqrt{x-1+x^2-2x+1} \\ &=\pm \sqrt{x^2-x} \\ &=\pm \sqrt{x(x-1)}\end{aligned}$
Pilihan jawabannya adalah (E)
(A) $8$
(B) $5$
(C) $0$
(D) $-5$
(E) $-8$
PEMBAHASAN:
Agar sebuah $f(x)$ terdefinisi maksudnya adalah batasan nilai $x$ agar fungsi $f(x)$ mempunyai nilai real atau sering juga disebut hanya "agar fungsi $f(x)$ mempunyai penyelesaian".
$\begin{aligned}f^{-1}(x-1+f(x-1))&=\pm \sqrt{x-1+f(x-1)} \\ &= \pm \sqrt{x-1+(x-1)^2} \\ &=\pm \sqrt{x-1+x^2-2x+1} \\ &=\pm \sqrt{x^2-x} \\ &=\pm \sqrt{x(x-1)}\end{aligned}$
Pilihan jawabannya adalah (E)
Soal 9: UTBK-SBMPTN 2019
Jika fungsi $\sqrt{\frac{x^2-8x+5}{x^2+x+12}}$ terdefinisi untuk $x\leqslant a$ atau $x \geqslant b$ maka nilai $a+b=...$(A) $8$
(B) $5$
(C) $0$
(D) $-5$
(E) $-8$
PEMBAHASAN:
Agar sebuah $f(x)$ terdefinisi maksudnya adalah batasan nilai $x$ agar fungsi $f(x)$ mempunyai nilai real atau sering juga disebut hanya "agar fungsi $f(x)$ mempunyai penyelesaian".
Fungsi pada soal terdiri atas dua fungsi yaitu, fungsi bentuk akar dan fungsi pecahan.
Untuk fungsi pecahan $f(x)=u(x).v(x)$, agar fungsi pecahan terdefenisi (mempunyai nilai real) syaratnya adalah penyebut tidak sama dengan nol $v(x) \neq 0$.
Pada soal di atas penyebut adalah $y=x^2+x+12$ karena $a>0$ dan $D<0$ sehingga fungsi selalu bernilai positif untuk setiap bilangan real atau definit positif.
Untuk fungsi bentuk akar $f(x)= \sqrt{u(x)}$, agar fungsi pecahan terdefenisi (mempunyai nilai real) syaratnya adalah yang di dalam akar harus lebih dari atau sama dengan nol $u(x) \geqslant 0$. Karena penyebut adalah definit positif, sehingga agar fungsi $x^2-8x+5x^2+x+12 \geqslant 0$ kita cukup mencari batasan nilai $x$ untuk $x^2-8x+5 \geqslant 0$.
$\begin{aligned} x_{1,2}&=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ &= \frac{-(-8)\pm \sqrt{(-8)^2-4(1)(5)}}{2(1)} \\ &=\frac{8\pm \sqrt{64-20}}{2} \\ &=\frac{8\pm \sqrt{44}}{2} \\ &=\frac{8\pm 2\sqrt{11}}{2} \\ &=4\pm \sqrt{11} \\ x_1&=4+ \sqrt{11} \\ x_2&=4- \sqrt{11} \end{aligned}$
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat $x^2-8x+5 \geqslant 0$ adalah himpunan penyesaian $\sqrt{\frac{x^2-8x+5}{x^2+x+12}}$, yaitu $x\leqslant 4-\sqrt{11}$ atau $x\geqslant $x\geqslant 4-\sqrt{11}$
, sehingga nilai,
$a+b = 4-\sqrt{11}+4+\sqrt{11}=8$
Pilihan jawabannya adalah (A)
Pilihan jawabannya adalah (A)
Soal 10: SBMPTN 2018 Kode 527
Jika $f(x)=\frac{1}{(x-1)^2}$ dan $g(x)=\frac{1}{x-2}$ maka himpunan penyelesaian dari $\frac{f(x)g(x)}{(fog)(x)}<0$ adalah . . .(A) {${x|x<1 \ atau \ x>2}$}
(B) {${x|x<1 \ atau \ 2<x<3}$}
(C) {${x|x<1 \ atau \ 1<x<2}$}
(D) {${x|1<x <2 \ atau \ x>3}$}
(E) {${x|2<x<3 \ atau \ x>3}$}
PEMBAHASAN:
Daerah asal fungsi $f(x)$ agar $f(x)$ terdefinisi maksudnya adalah batasan nilai $x$ agar fungsi $f(x)$ mempunyai nilai real atau sering juga disebut hanya "agar fungsi $f(x)$ mempunyai penyelesaian".
Fungsi pada soal terdiri atas dua fungsi yaitu, fungsi bentuk akar dan fungsi pecahan.
Untuk fungsi pecahan $f(x)=u(x).v(x)$, agar fungsi pecahan terdefenisi (mempunyai nilai real) syaratnya adalah penyebut tidak sama dengan nol $v(x) \neq 0$.
$x+2 \neq 0$
$x \neq -2$
Untuk fungsi bentuk akar $f(x)=\sqrt{u(x)}$, agar fungsi pecahan terdefenisi (mempunyai nilai real) syaratnya adalah yang di dalam akar harus lebih dari atau sama dengan nol $u(x) \geqslant 0$.
Untuk fungsi bentuk akar $f(x)=\sqrt{u(x)}$, agar fungsi pecahan terdefenisi (mempunyai nilai real) syaratnya adalah yang di dalam akar harus lebih dari atau sama dengan nol $u(x) \geqslant 0$.
$\frac{x^2-3x+2}{x+2} \geqslant 0$
$\frac{(x-2)(x-1)}{x+2} \geqslant 0$
Untuk mencari himpunan penyelesaian pada pertidaksamaan pecahan dia atas, seperti gambar berikut:
Himpunan penyelesaian $\frac{x^2-3x+2}{x+2} \geqslant 0$ adalah $-2\leqslant x \leqslant1$ atau $x \geqslant 2$ dan $x \neq -2$.
Pilihan jawabannya adalah (A)
Himpunan penyelesaian $\frac{x^2-3x+2}{x+2} \geqslant 0$ adalah $-2\leqslant x \leqslant1$ atau $x \geqslant 2$ dan $x \neq -2$.
Pilihan jawabannya adalah (A)
Post a Comment for "Soal dan Pembahasan Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers"
Sobat Ayo Sekolah Matematika! Berikan Komentar di kolom komentar dengan bahasa yang sopan dan sesuai isi konten...Terimasih untuk kunjunganmu di blog ini, semoga bermanfaat!