Perkalian Dua Bilangan Kompleks

Dengan kata lain, produk dari dua bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk standar A + iB di mana A dan B adalah nyata.

Misalkan z₁ = p + iq dan z₂ = r + is dua bilangan kompleks (p, q, r dan s adalah bilangan nyata), maka perkalian z₁z₂ didefinisikan sebagai

z₁z₂ = (pr - qs) + i(ps + qr).

Bukti:

Diberikan z₁ = p + iq dan z₂ = r + adalah

Sekarang, z₁z₂ = (p + iq)(r + is) = p(r + is) + iq (r + is) = pr + ips + iqr + i²qs

Kita tahu bahwa i² = -1. Sekarang menempatkan i² = -1 yang kita dapatkan,

= pr + ips + iqr - qs

= pr - qs + ips + iqr

= (pr - qs) + i(ps + qr).

Jadi, z₁z₂ = (pr - qs) + i(ps + qr) = A + iB di mana A = pr - qs dan B = ps + qr adalah bilangan nyata.

Oleh karena itu, perkalian dari dua bilangan kompleks adalah bilangan kompleks.

Catatan: Perkalian lebih dari dua bilangan kompleks juga bilangan kompleks.

 

Sebagai contoh:

Misalkan dua bilangan kompleks z₁ = (4 + 3i) dan z₂ = (-7 + 6i), maka

z₁z₂ = (4 + 3i)(-7 + 6i)

= 4(-7 + 6i) + 3i(-7 + 6i)

= -28 + 24i - 21i + 18i2

= -28 + 3i - 18

= -28 - 18 + 3i

= -46 + 3i

Sifat perkalian bilangan kompleks:

Jika z₁, z₂ dan z₃ adalah tiga bilangan kompleks, maka

(i) z₁z₂ = z₂z₁ (hukum komutatif)

(ii) (z₁z₂) z₃ = z₁(z₂z₃) (hukum asosiatif)

 

(iii) z ∙ 1 = z = 1 ∙ z, jadi 1 bertindak sebagai identitas multiplikatif untuk himpunan bilangan kompleks.

(iv) Keberadaan inver multiplikasi

Untuk setiap bilangan kompleks tidak nol z = p + iq, kita memiliki bilangan kompleks p/(p² + q²) – iq/(p² + q²) (dilambangkan dengan z⁻¹ atau 1/z) sedemikian rupa sehingga

z ∙ 1/z = 1 = 1/z ∙ z (periksa)

1/z disebut kebalikan multiplikasi dari z.

Catatan: Jika z = p + iq maka z⁻¹ = 1/(p + iq) = [1/(p + iq)]∙[p – iq]/[p – iq] = (p – iq)/(p² + q²) = (p/p² + q²) – iq/(p² + q²)

(v) Perkalian bilangan kompleks bersifat distributif atas penambahan bilangan kompleks.

Jika z₁, z₂ dan z₃ adalah tiga bilangan kompleks, maka

z₁ (z₂ + z₃) = z₁z₂ + z₁z₃

dan (z₁ + z₂)z₃ = z₁z₃ + z₂z₃

Hasilnya dikenal sebagai hukum distributif.

Contoh-contoh soal dan pembahasan perkalian dua bilangan kompleks:

1. Temukan produk dari dua bilangan kompleks (-2 + √3i) dan (-3 + 2√3i) dan nyatakan hasilnya dalam standar dari A + iB.

Jawab:

(-2 + √3i) (- 3 + 2√3i)

= -2 (-3 + 2√3i) + √3i (-3 + 2√3i)

= 6 - 4√3i - 3√3i + 2 (√3i) 2

= 6 - 7√3i - 6

= 6 - 6 - 7√3i

= 0 - 7√3i, yang merupakan bentuk wajib A + iB, di mana A = 0 dan B = - 7√3

2. Temukan invers multiplikasi dari √2 + 7i.

Jawab:

Kemudian z̅ = √2 - 7i dan |z|² = (√2)² + (7)² = 2 + 49 = 51.

Kita tahu bahwa inversi multiplikasi dari z diberikan oleh z⁻¹

= z̅/|z|²

= (√2−7i)/51

= √2/51 – 7i/51

Atau dengan cara lain yaitu:

z⁻¹ = 1/z

= 1/(√2 + 7i)

= 1/(√2 + 7i) × (√2−7i)/(√2−7i)

= (√2−7i)/[(√2)²− (7i)²]

= (√2−7i)/(2 + 49)

= (√2−7i)/51

= √2/51 – 7i/51