Nilai atau Besar dari tan 7½°

 Bagaimana mencari nilai pasti dari tan 7½° menggunakan nilai cos 15°?

Jawab:

sudut 7½° terletak di kuadran pertama.

Oleh karena itu, sin 7½° dan cos 7½° positif.

Untuk semua nilai sudut A kita tahu bahwa, sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β.

Oleh karena itu, sin 15° = sin (45° - 30°)

= $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ∙ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ - $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ∙ $\frac{1}{2}$

= $\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$ - $\frac{1}{2\sqrt{2}}$

= $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$

Sekali lagi, untuk semua nilai sudut A kita tahu bahwa, cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β.

Oleh karena itu, cos 15° = cos (45° - 30°)

cos 15° = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°

= $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ∙ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ + $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ∙ $\frac{1}{2}$

= $\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$ + $\frac{1}{2\sqrt{2}}$

= $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$

tan 7½° = $\frac{sin7\frac{1}{2}^0}{cos7\frac{1}{2}^0}$

             = $\frac{2sin^2 7\frac{1}{2}^0}{2cos7\frac{1}{2}^0sin7\frac{1}{2}^0}$

             = $\frac{1-cos15^0}{sin15^0}$

             = $\frac{1-\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}}$

             = $\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}$

             = $\left (\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}  \right )\times \left (\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}  \right )$

             = $\frac{2\sqrt{6}-3-\sqrt{3}+2\sqrt{2}-\sqrt{3}-11}{2}$

             = $\sqrt{6}-\sqrt{3}+\sqrt{2}-2$

jadi tan 7½° = $\sqrt{6}-\sqrt{3}+\sqrt{2}-2$