Soal dan Pembahasan Limit Fungsi Trigonometri


Soal 1: SPMB 2006 Kode 310
limx12πsin x tan (2xπ)2π4x=...
(A) 
12
(B) 
12
(C) 
133
(D) 
1
(E) 
3

PEMBAHASAN:
limx12πsin x tan (2xπ)2π4x
=limx12πsin x (tan (π2x))2π4x
=limx12πsin x tan (π2x)2(π2x)
=limx12π(sin x 2×tan (π2x) (π2x))
=sin(12π)2×1

=12

Pilihan jawabannya adalah (A)


Soal 2: SPMB 2006 Kode 402
limx0x24x3cos x cos 3x =...
(A) 
32
(B) 
12
(C) 
0
(D) 
12
(E) 
32

PEMBAHASAN:
Kita gunakan identitas trigonometri:

cos A sin B =2sin(A+B2)sin(AB2)
cos x sin 3x =2sin(x+3x2)sin(x3x2)
cos x sin 3x =2sin 2x sin (x) =2sin 2x sin x 

limx0x24x3cos x cos 3x 
=limx0x24x32sin 2x sin x 
=limx0(x22sin 2x sin x ×4x3)
=12.2×403

=14×2=12

Pilihan jawabannya adalah (D)

Soal 3: UM UGM 2005 Kode 812

limx0xtan 5x cos 2x cos 7x =...

(A) 19
(B) 
19
(C) 
29
(D) 
29
(E) 
0

PEMBAHASAN:
cos A sin B =2sin(A+B2)sin(AB2)
cos 2x sin 7x =2sin(2x+7x2)sin(2x7x2)
cos 2x sin 7x =2sin (9x2) sin (5x2) 
cos 2x sin 7x =2sin (9x2) sin (5x2) 

limx0xtan 5x 2sin (9x2) sin (5x2) 
=limx0(x2sin (9x2) ×tan 5x sin (5x2) )
=12 . 92×552
=19×2=29

Pilihan jawabannya adalah (C)

Soal 4: SPMB 2005 Kode 780
limx1(x2+x2)sin(x1)x22x+1=...

(A) 4
(B) 
3
(C) 
0
(D) 
14
(E) 
12

PEMBAHASAN:
limx1(x2+x2)sin(x1)x22x+1
=limx1(x+2)(x1)sin(x1)(x12
=limx1(x+2)(x1)sin(x1)(x1)(x1)
=limx1((x+2)(x1)(x1)×sin(x1)(x1))
=limx1(x+2)×limx1sin(x1)(x1)
=1+2×1=3

Pilihan jawaban yang sesuai adalah (B)

Soal 5: UM UGM 2004 Kode 322
limx1tan(x1)sin(1x)x22x+1=...

(A) 1
(B) 
12
(C) 
0
(D) 
12
(E) 
1

PEMBAHASAN:
limx1tan(x1)sin(1x)x22x+1
=limx1tan(x1)sin(1x)(x1)(x1)
=limx1tan(x1)sin(1x)(x1)(1x)
=limx1tan(x1)sin(1x)(x1)(1x)(1+x)
=limx1(tan(x1)x1×sin(1x)(1x)×1(1+x))
=limx1tan(x1)x1×limx1sin(1x)(1x)×limx11(1+x)
=1×1×1(1+1)=12

Pilihan jawaban yang sesuai adalah (B)


Soal 6: UM STIS 2011

Jika limx0xa sin4xsin6x=1, maka nilai a yang memenuhi adalah . . .

(A) 1
(B) 
2
(C) 
3
(D) 
4
(E) 
5

PEMBAHASAN:
Kita gunakan konsep limit trogonometri dasar
limx0sin ax bx=ab atau
limx0axsin bx =ab, maka

limx0xa sin4xsin2xsin4x=1
limx0xa sin2x=1

Agar nilai limit fungsi di atas benar adalah 1, maka nilai a=2

Pilihan jawabannya adalah (B)

Soal 7: UTBK-SBMPTN 2019
Nilai limx0cot 2x csc 2x cos 3x tan13x=...

(A) 3
(B) 
2
(C) 
0
(D) 
2
(E) 
3

PEMBAHASAN:
Kita gunakan konsep limit trogonometri dasar

  • limx0tan ax bx=ab 
  • limx0tan ax sin bx =ab
  • limx0sin ax sin bx =ab
limx0cot 2x csc 2x cos 3x tan13x
=limx0cos 2x sin 2x 1sin 2x cos 3x tan13x
=limx0cos 2x 1sin 2x cos 3x tan13x
=limx0cos 2x 1cos 3x tan13xsin 2x 
=limx01sin2 x 1cos 3x tan13xsin 2x 
=limx02sin2 x cos 3x tan13xsin 2x 
=limx02sin x sin x cos 3x tan13xsin 2x 
=limx02cos3x×limx0sin x tan13x×sin x sin 2x 
=2.1.1cos 0 .13.2
=223=3

Pilihan jawabannya adalah (E)

Soal 8: SNMPTN 2010 Kode 546
limx04xsin 2x =...

(A) 2
(B) 
1
(C) 
12
(D) 
14
(E) 
0

PEMBAHASAN:

Kita gunakan konsep limit trogonometri dasar limx0axsin bx =ab dan teorema limit limxcnf(x)=nlimxcf(x), maka

limx04xsin 2x =limx04xsin 2x 
=limx04xsin 2x 

=42
=2

Pilihan jawaban yang sesuai adalah (A)

Soal 9: SPMB 2006 Kode 111
limx12π(x12π)2sin x cos2 x =...

(A) 1
(B) 
12
(C) 
0
(D) 
1
(E) 
2

PEMBAHASAN:
limx12π(x12π)2sin x cos2 x 
=limx12π(12πx)2sin x sin2 (12πx) 
=limx12π[(12πx)2sin x sin2 (12πx) ]
=1×sin12π
=1×1=1

Pilihan jawaban yang sesuai adalah (D)

Soal 10: UM UGM 2005 Kode 812
limx14π(xπ4)tan(3x3π4)2(1sin 2x )=...

(A) 0
(B) 
32
(C) 
32
(D) 
34
(E) 
34

PEMBAHASAN:

Kita gunakan konsep identitas trogonometri dasar

  • cos(12πx)=sin x  
  • cos 2x =cos2 x sin2 x 
  • cos 2x =12sin2 x 
  • cos x =12sin2 12x 
limx14π(xπ4)tan(3x3π4)2(1sin 2x )
=limx14π(xπ4)(tan(3π43x))2(1cos(12π2x))
=limx14π(xπ4)tan 3(π4x)2[2sin2(12(12π2x))]
=limx14π(π4x)tan 3(π4x)4sin2(14πx)
=limx14π[(π4x)4sin(14πx)×tan 3(π4x)sin(14πx)]

=14×31
=34

Pilihan jawaban yang sesuai adalah (E)