Soal 1: SPMB 2006 Kode 310
limx→12πsin x tan (2x−π)2π−4x=...
(A) −12
(B) 12
(C) 13√3
(D) 1
(E) √3
PEMBAHASAN:
limx→12πsin x tan (2x−π)2π−4x
=limx→12πsin x −(tan (π−2x))2π−4x
=limx→12π−sin x tan (π−2x)2(π−2x)
=limx→12π(−sin x 2×tan (π−2x) (π−2x))
=−sin(12π)2×1
=−12
Pilihan jawabannya adalah (A)
Soal 2: SPMB 2006 Kode 402
limx→0x2√4−x3cos x −cos 3x =...
(A) −32
(B) −12
(C) 0
(D) 12
(E) 32
PEMBAHASAN:
Kita gunakan identitas trigonometri:
cos A −sin B =−2sin(A+B2)sin(A−B2)
cos x −sin 3x =−2sin(x+3x2)sin(x−3x2)
cos x −sin 3x =−2sin 2x sin (−x) =2sin 2x sin x
limx→0x2√4−x3cos x −cos 3x
=limx→0x2√4−x32sin 2x sin x
=limx→0(x22sin 2x sin x ×√4−x3)
=12.2×√4−03=14×2=12
Pilihan jawabannya adalah (D)
Soal 3: UM UGM 2005 Kode 812
limx→0xtan 5x cos 2x −cos 7x =...
(A) 19
(B) −19
(C) 29
(D) −29
(E) 0
PEMBAHASAN:
cos A −sin B =−2sin(A+B2)sin(A−B2)
cos 2x −sin 7x =−2sin(2x+7x2)sin(2x−7x2)
cos 2x −sin 7x =−2sin (9x2) sin (−5x2)
cos 2x −sin 7x =2sin (9x2) sin (5x2)
limx→0xtan 5x 2sin (9x2) sin (5x2)
=limx→0(x2sin (9x2) ×tan 5x sin (5x2) )
=12 . 92×552
=19×2=29
Pilihan jawabannya adalah (C)
Soal 4: SPMB 2005 Kode 780
limx→1(x2+x−2)sin(x−1)x2−2x+1=...
(A) 4
(B) 3
(C) 0
(D) −14
(E) −12
PEMBAHASAN:
limx→1(x2+x−2)sin(x−1)x2−2x+1
=limx→1(x+2)(x−1)sin(x−1)(x−12
=limx→1(x+2)(x−1)sin(x−1)(x−1)(x−1)
=limx→1((x+2)(x−1)(x−1)×sin(x−1)(x−1))
=limx→1(x+2)×limx→1sin(x−1)(x−1)
=1+2×1=3
Pilihan jawaban yang sesuai adalah (B)
Soal 5: UM UGM 2004 Kode 322
limx→1tan(x−1)sin(1−√x)x2−2x+1=...
(A) −1
(B) −12
(C) 0
(D) 12
(E) 1
PEMBAHASAN:
limx→1tan(x−1)sin(1−√x)x2−2x+1
=limx→1tan(x−1)sin(1−√x)(x−1)(x−1)
=limx→1tan(x−1)sin(1−√x)−(x−1)(1−x)
=limx→1tan(x−1)sin(1−√x)−(x−1)(1−√x)(1+√x)
=limx→1(tan(x−1)x−1×sin(1−√x)(1−√x)×1−(1+√x))
=limx→1tan(x−1)x−1×limx→1sin(1−√x)(1−√x)×limx→11−(1+√x)
=1×1×1−(1+√1)=−12
Pilihan jawaban yang sesuai adalah (B)
Soal 6: UM STIS 2011
Jika limx→0xa sin4xsin6x=1, maka nilai a yang memenuhi adalah . . .
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
PEMBAHASAN:
Kita gunakan konsep limit trogonometri dasar
limx→0sin ax bx=ab atau
limx→0axsin bx =ab, maka
limx→0xa sin4xsin2xsin4x=1
limx→0xa sin2x=1
Agar nilai limit fungsi di atas benar adalah 1, maka nilai a=2
Pilihan jawabannya adalah (B)
Soal 7: UTBK-SBMPTN 2019
Nilai limx→0cot 2x −csc 2x cos 3x tan13x=...
(A) 3
(B) 2
(C) 0
(D) −2
(E) −3
PEMBAHASAN:
Kita gunakan konsep limit trogonometri dasar
- limx→0tan ax bx=ab
- limx→0tan ax sin bx =ab
- limx→0sin ax sin bx =ab
=limx→0cos 2x sin 2x −1sin 2x cos 3x tan13x
=limx→0cos 2x −1sin 2x cos 3x tan13x
=limx→0cos 2x −1cos 3x tan13xsin 2x
=limx→01−sin2 x −1cos 3x tan13xsin 2x
=limx→0−2sin2 x cos 3x tan13xsin 2x
=−2.1.1cos 0 .13.2
=−223=−3
Soal 8: SNMPTN 2010 Kode 546
limx→0√4x√sin 2x =...
(A) √2
(B) 1
(C) 12
(D) 14
(E) 0
PEMBAHASAN:
Kita gunakan konsep limit trogonometri dasar limx→0axsin bx =ab dan teorema limit limx→cn√f(x)=n√limx→cf(x), maka
limx→0√4x√sin 2x =limx→0√4xsin 2x
=√limx→04xsin 2x
=√42
=√2
Pilihan jawaban yang sesuai adalah (A)
Soal 9: SPMB 2006 Kode 111
limx→12π(x−12π)2sin x cos2 x =...
(A) −1
(B) −12
(C) 0
(D) 1
(E) 2
PEMBAHASAN:
limx→12π(x−12π)2sin x cos2 x
=limx→12π(12π−x)2sin x sin2 (12π−x)
=limx→12π[(12π−x)2sin x sin2 (12π−x) ]
=1×sin12π
=1×1=1
Pilihan jawaban yang sesuai adalah (D)
Soal 10: UM UGM 2005 Kode 812
limx→14π(x−π4)tan(3x−3π4)2(1−sin 2x )=...
(A) 0
(B) −32
(C) 32
(D) −34
(E) 34
PEMBAHASAN:
Kita gunakan konsep identitas trogonometri dasar
- cos(12π−x)=sin x
- cos 2x =cos2 x −sin2 x
- cos 2x =1−2sin2 x
- cos x =1−2sin2 12x
=limx→14π(x−π4)(−tan(3π4−3x))2(1−cos(12π−2x))
=limx→14π−(x−π4)tan 3(π4−x)2[2sin2(12(12π−2x))]
=limx→14π(π4−x)tan 3(π4−x)4sin2(14π−x)
=limx→14π[(π4−x)4sin(14π−x)×tan 3(π4−x)sin(14π−x)]
=14×31
=34
Pilihan jawaban yang sesuai adalah (E)